LIC:区块链入门 | 探索零知识证明系列（一）：初识「零知识」与「证明」_OIN

引言

我认为区块链很难称为一个“技术”。它更像是一个领域，包罗万象。或者形而上地说，区块链更像一个有机体，融合了各种不同的理论技术。

零知识证明是构建信任的重要技术，也是区块链这个有机体中不可缺少的一环。

零知识证明是打通链上数据与链下计算的关键技术，也是实现链上数据隐私保护的重要途径

要解释「零知识证明」，我们需要先解释「证明」，然后解释什么是「知识」，最后再解释什么是「零知识」。

“证明”的前世今生

什么是证明？很多人可能和我一样，看到这两个字，会不禁想起中学考卷中各种三角相似的几何图形，当老师在神奇地画出一条辅助线后，证明过程突然显而易见，然后会懊悔自己为何没想到。

古希腊：「证明」==「洞见」

数学证明最早源于古希腊。他们发明了公理与逻辑，他们用证明来说服对方，而不是靠权威。这是彻头彻尾的「去中心化」。自古希腊以降，这种方法论影响了整个人类文明的进程。

上图是「勾股定理」的巧妙证明。历史上曾出现过许许多多精巧的证明，神奇的思路，天才的灵感。一旦一个命题被证明，上帝都无能为力。嗯，对了，还有那个「上帝不是万能的」证明：上帝不能造出一块他举不起来的石头。

一个数学证明往往暗藏无比深刻的「洞见」，相信很多人都看过「费马大定理」的故事，这个定理证明横跨四百年，从费马写下「这里空间太小，我写不下」，到怀尔斯最终登顶，耗费了许多代人的聪明才智。最近如「彭加莱猜想」，稍微带点年代感的如「哥德巴赫猜想」，还有我非常敬佩的华裔科学家张益唐十年磨一剑，在仔细研究了「Goldston-Pintz-Y?ld?r?m」和「Bombieri-Friedlander-Iwaniec.」的证明「洞见」之后，证明了「质数间的有界间隔」。

自十七世纪，莱布尼茨起，人们就梦想找到一种机械的手段，可以来自动完成证明，而不再依赖天才的灵光一现。

二十世纪初：「证明」==「符号推理」

时间到了十九世纪末，康托、布尔、弗雷格、希尔伯特、罗素、布劳威、哥德尔等人定义了形式化逻辑的符号系统。而「证明」则是在利用形式化逻辑的符号语言编写的推理过程。逻辑本身靠谱么？逻辑本身「自恰」吗？逻辑推理本身对不对，能够证明吗？这让数学家/逻辑学家/计算机科学家发明了符号系统，语法vs.语义，可靠vs.完备，递归vs.无穷。。

1910年，罗素发表了洪(zhuan)荒(tou)巨著『数学原理』。在书中，罗素与怀特海试图将数学完整地「形式化」下来。如果能达到这样的目标，所有的数学成果都将以证明的方式建立在坚实的基础上。下图就是『数学原理』中的一页：

其中110.643这是一个命题：「1+1=2」，然后接下来就是这个定理的证明。大家可能奇怪，难道1+1还需要证明吗？是的，在数学原理一书中，数字0，1，2，……都有严格定义，「加法」、「乘法」、「等于」都要严格定义，然后每一步的推理都需要指出依据。证明意味着什么？证明是可能繁琐无比的、但是每一步推理都严格无误。书中大量的证明都机械式的，按照公理和推理规则进行一种证明的构造，寻找证明就好像可以交给一个人，然后他无脑在公理与推理规则的集合中进行机械查找。

区块链技术助力著作权保护:金色财经报道，9月12日，由中华商标协会、中国服装设计师协会主办的2021中国时尚知识产权大会在京启幕。在此次大会中，首次发布了《时尚产业知识产权保护年度报告》。报告中指出，2020年中国商标申请量934.8万件，居世界第一。截至2020年，我国有效注册商标量3017.3万件，也居世界第一。区块链技术目前已被运用至著作权保护工作之中，为权利人提供了一种更为快捷、便利的著作权方式。中华商标协会会长马夫在接受采访时表示，“随着互联网的高速发展，侵权产品的确有了更多的传播途径。不过随着大数据、云计算的发展以及区块链技术的应用，未来会寻找到更好的办法。”（北京商报）[2021/9/14 23:23:24]

似乎人们距离「定理的自动证明」并不遥远了。

不幸的是，哥德尔在1931年证明了「哥德尔不完备性定理」，图灵在1936年证明了图灵机停机问题的不可判定性。这些成果彻底终结了这个几百年的幻想。无论公理系统如何精巧设计，都无法抓住所有的真理。

证明不仅仅是一个严格推理，而且凝结了似乎很难机械化的创造性思维。证明中蕴含了大量的「知识」，每一次的突破，都将我们的认知提升到一个新的高度。不管是「洞见」，还是推理过程中所构造的「算法」，一个定理的证明的内涵往往远超出定理本身的结论。

六十年代：「证明」==「程序」

又过了半个世纪，到了六十年代，逻辑学家HaskellCurry和WilliamHoward相继发现了在「逻辑系统」和「计算系统—Lambda演算」中出现了很多「神奇的对应」，这就是后来被命名的「Curry-HowardCorrespondence」。这个发现使得大家恍然大悟，「编写程序」和「编写证明」实际在概念上是完全统一的。而在这之后的50年，相关理论与技术发展使得证明不再停留在草稿纸上，而是可以用程序来表达。这个同构映射非常有趣：程序的类型对应于证明的定理；循环对应于归纳；……）。在直觉主义框架中，证明就意味着构造算法，构造算法实际上就是在写代码。(反过来也成立，嗯，码农码的不是代码，是数学证明，:P)

目前在计算机科学领域，许多理论的证明已经从纸上的草图变成了代码的形式，比较流行的「证明编程语言」有Coq，Isabelle，Agda等等。采用编程的方式来构造证明，证明的正确性检查可以机械地由程序完成，并且许多啰嗦重复性的劳动可以由程序来辅助完成。数学理论证明的大厦正在像计算机软件一样，逐步地构建过程中。1996年12月W.McCune利用自动定理证明工具EQP证明了一个长达63年历史的数学猜想「Ronbins猜想」，『纽约时报』随后发表了一篇题为「ComputerMathProofShowsReasoningPower」的文章，再一次探讨机器能否代替人类创造性思维的可能性。

利用机器的辅助确实能够有效帮助数学家的思维达到更多的未知空间，但是「寻找证明」仍然是最有挑战性的工作。「验证证明」，则必须是一个简单、机械、并且有限的工作。这是种天然的「不对称性」。

八十年代：「证明」==「交互」

时间拨到1985年，乔布斯刚刚离开苹果，而S.Goldwasser博士毕业后来到了MIT，与S.Micali，Rackoff合写了一篇能载入计算机科学史册的经典：『交互式证明系统中的知识复杂性』。

江苏省拟做好区块链等新兴产业前瞻布局和龙头骨干企业培育:按照《2020年智慧江苏工作要点》，江苏省拟推进9个方面38项工作任务落地，打造10个标志性和50个示范性工程，做好大数据、人工智能、区块链等新兴产业前瞻布局和龙头骨干企业培育，促进新一代信息技术产业集群创新发展，力争今年年底全省地区信息化发展水平指数达到96，数字经济规模超过4万亿元。(证券日报)[2020/4/16]

他们对「证明」一词进行了重新的诠释，并提出了交互式证明系统的概念：通过构造两个图灵机进行「交互」而不是「推理」，来证明一个命题在概率上是否成立。「证明」这个概念再一次被拓展。

交互证明的表现形式是两个的「对话脚本」，或者称为Transcript。而这个对话过程，其中有一个显式的「证明者」角色，还有一个显式的「验证者」。其中证明者向验证者证明一个命题成立，同时还「不泄露其他任何知识」。这种就被称为「零知识证明」。

再强调一遍，证明凝结了「知识」，但是证明过程确可以不泄露「知识」，同时这个证明验证过程仍然保持了简单、机械，并且有限性。这听上去是不是有点「反直觉」？

交互式证明

Alice:我想向你证明我有一个方程的解，w^3-Bob:好啊，我听着呢Alice:但是我不会告诉你x具体是多少，除非你愿意掏钱，我才告诉你。Bob:可以啊，但是你要先证明你有方程的解，我再给钱你。Alice:@#$%^&Bob:??????Alice:&*#$@!Bob:??????......Alice:好了，完了Bob:好吧，你确实有方程的解，不过是不是我掏了钱，你就会把答案告诉我？Alice:别废话，掏钱！

上面例子就是一个「交互式证明」。假设Alice知道方程的解，f(w)=0，那么Alice如何让Bob确信她知道w呢？Alice在「黑科技阶段」告诉了Bob一大堆的信息。好了，关键问题是，Bob能不能从Alice所说的一大堆信息中猜出w到底是几，或者能分析出关于w的蛛丝马迹呢？如果Bob有这个能力，Bob也许就没必要掏钱了，因为他已经获得了这个值钱的信息。

请注意，如果Alice与Bob的对话是「零知识」的，那么Bob除了知道w是f(w)=0的解之外，不能获取其它任何关于w的信息。这一点非常重要，这是保护Alice的利益。

现在回顾一下「零知识证明」这个词，英文叫「Zero-KnowledgeProof」。这个词包含三个关键部分：

零

知识

证明

各位可能已经有点感觉了，我们来尝试着解读一下：

零：Alice泄露了关于w的「零」知识，也就是没有泄露知识。

知识：这里就是指的就是?w。

证明：就是Alice与Bob对话中的「黑科技部分」。

零知识证明有什么用处？

一提零知识证明技术，很多人就想到了匿名Coin，比如Monero,比如ZCash。确实，这几个Coin很好地普及了零知识证明，我本人也是通过ZCash才第一次听说了零知识证明这个词。但是在更深入地了解这个技术之后，深深感觉这个技术的威力远不止这一点。

零知识证明技术可以解决数据的信任问题，计算的信任问题！

张三说他有100块钱，李四说他北大毕业，王五说要和八菲特共进午餐。空口无凭，Showmetheproof。

声音 | 半月谈：成都餐饮专委会借力5G、区块链技术让川菜香飘更远:由中共中央宣传部委托新华社主办的《半月谈》今日刊文指出，成都餐饮专委会借力5G、区块链技术让川菜香飘更远。成都旅游协会餐饮专委会长姚席平在接受媒体采访时解释说，中央号召要探索“区块链+”在民生领域的运用，在这一背景下，成都餐饮专委会也要与时俱进，“非遗川菜”与5G、区块链融合不是噱头，而是川菜走出去的飞翔之翼。运用好区块链的先进技术(CRM)体系，更好地维护世界川菜消费者的客户关系，更好地走向国际。目的就是要让全世界爱好川菜的人免费学“非遗川菜”，并且瞬间能购到相关的食材。[2019/11/20]

那么「零知识证明」能解决数据的信任如何理解呢？在上一篇文章『zkPoD:区块链，零知识证明与形式化验证，实现无中介、零信任的公平交易』里面，我提到了一个概念「模拟」：

零知识证明技术可以「模拟」出一个第三方，来保证某一个论断是可信的

换句话说，当我们收到一个加了密的数据，然后还有一个零知识证明。这个零知识证明是说「关于数据的X断言成立」，那么这等价于有一个天使在我们耳边悄声说，「关于数据的X断言成立」！

对于这个X断言，可以非常灵活，它可以是一个NP复杂度的算法。大白话讲只要我们能写一段程序来判断一个数据是否满足X断言，那么这个断言就可以用零知识证明的方式来表达。通俗点讲，只要数据判定是客观的，那么就零知识证明就适用。

零知识证明的一些用处：

数据的隐私保护：在一个数据表格中，多多少少都有一些信息不想被暴露，比如当年我的成绩单，我只想向人证明，我的成绩及格了，但是我不想让别人知道我到底考了61分还是62分，这会很尴尬。我没有心脏病，但是保险公司需要了解这一点，但是我不想让保险公司知道我的隐私信息。那我可以证明给保险公司看，我没有心脏病，但是病历的全部并不需要暴露。我是一家企业，我想向银行贷款，我只想向银行证明我具备健康的业务与还款能力，但是我不想让银行知道我们的一些商业秘密。

计算压缩与区块链扩容：在众多的区块链扩容技术中，Vitalik采用zkSNARK技术能够给现有的以太坊框架带来几十倍的性能提升。因为有了计算的证明，同样一个计算就没必要重复多次了，在传统的区块链架构中，同样的计算被重复多次，比如签名的校验，交易合法性校验，智能合约的执行等等。这些计算过程都可以被零知识证明技术进行压缩。

端到端的通讯加密：用户之间可以互相发消息，但是不用担心服务器拿到所有的消息记录，同时消息也可以按照服务器的要求，出示相应的零知识证明，比如消息的来源、与发送的目的地。

身份认证：用户可以向网站证明，他拥有私钥，或者知道某个只要用户自己才知道的秘密答案，而网站并不需要知道，但是网站可以通过验证这个零知识证明，从而确认用户的身份

去中心化存储：服务器可以向用户证明他们的数据被妥善保存，并且不泄露数据的任何内容。

信用记录：信用记录是另一个可以充分发挥零知识证明优势的领域，用户可以有选择性的向另一方出示自己的信用记录，一方面可以有选择的出示满足对方要求的记录分数，同时证明信用记录的真实性。

声音 | 陈思劼：传统金融机构开始意识到必须要积极地布局区块链等智能金融的业务:据国际金融报报道，在世界人工智能大会上，第一财经总经理陈思劼表示，在金融和商业领域一场深刻的变革已经在发生。一批新型的金融机构从一开始就依靠技术革新、金融科技来开辟市场，而传统的金融机构也开始意识到必须要积极地布局智能金融的业务，包括大数据、云计算、人工智能、区块链等技术，才能拥有自己的未来。新技术不断催生金融科技新物种、新模式、新产业。可预见的是更富有获利效率的金融科技新生态正在形成。[2019/9/2]

构造完全公平的线上数字化商品的交易协议。

更多的例子，可以是任何形式的数据共享，数据处理与数据传输。

举例：地图三染色问题

下面讲一个经典的问题，地图的三染色问题。如何用三种颜色染色一个地图，保证任意两个相邻的地区都是不同的颜色。我们把这个「地图三染色问题」转变成一个「连通图的顶点三染色问题」。假设每个地区都有一个首府，然后把相邻的节点连接起来，这样地图染色问题可以变成一个连通图的顶点染色问题。

下面我们设计一个交互协议:

「证明者」Alice

「验证者」Bob

Alice手里有一个地图三染色的答案，请见下图。这个图总共有6个顶点，9条边。

现在Alice想证明给Bob她有答案，但是又不想让Bob知道这个答案。Alice要怎么做呢？

Alice先要对染过色的图进行一些「变换」，把颜色做一次大挪移，例如把所有的绿色变成橙色，把所有的蓝色变成绿色，把所有的绿色变成橙色。然后Alice得到了一个新的染色答案，这时候她把新的图的每一个顶点都用纸片盖上，然后出示给Bob看。

看下图，这时候Bob要出手了，他要随机挑选一条「边」，注意是随机，不让Alice提前预测到的随机数。

假设Bob挑选的是最下面的一条边，然后告诉Alice。

这时候Alice揭开这条边两端的纸片，让Bob检查，Bob发现这两个顶点的颜色是不同的，那么Bob认为这次检验同构。这时候，Bob只看到了图的局部，能被说服剩下的图顶点的染色都没问题吗？你肯定觉得这远远不够，也许恰好Alice蒙对了呢？其它没暴露的顶点可能是胡乱染色的。

没关系，Bob可以要求Alice再来一遍，看下图

Alice再次把颜色做一次变换，把蓝色改成紫色，改绿色改成棕色，把橙色改成灰色，然后把所有的顶点盖上纸片。然后Bob再挑选一条边，比如像上图一样，选择的是一条竖着的边，然后让Alice揭开纸片看看，如果这时候Bob再次发现这条边两端的顶点颜色不同，那么Bob这时候已经有点动摇了，可能Alice真的有这个染色答案。可是，两次仍然不够，Bob还想再多来几遍。

动态 | 金融时报：未来区块链等技术与银行业的融合一定会越来越深入:据金融时报今日刊文指出，银行业“变革的思维”，还体现在科技与传统银行的结合上。未来，云计算、大数据、区块链与银行业的融合一定会越来越深入。数据和信息会成为未来银行的生命线。拥有数据和信息，就能精准勾画出消费者所需要的场景，从而提高银行服务和产品的覆盖范围与个性化程度，进而满足金融消费者的获得感、幸福感和安全感。并且，数字技术与普惠金融、小微金融、消费金融相结合，可以产生事半功倍的效果，因为小微企业与消费者是最需要数字技术所带来的金融服务便利性的客户群体。[2018/9/8]

那么经过反复多次重复这三个步骤，可以让Alice作弊并能成功过Bob的概率会以指数级的方式减小。假设经过n轮之后，Alice作弊的概率为

这里|E|是图中所有边的个数，如果n足够大，这个概率Pr会变得非常非常小，变得「微不足道」。

可是，Bob每次看到的局部染况都是Alice变换过后的结果，无论Bob看多少次，都不能拼出一个完整的三染色答案出来。实际上，Bob在这个过程中，虽然获得了很多「信息」，但是却没有获得真正的「知识」。

信息vs.知识

信息「Information」

知识「Knowledge」

在地图三染色问题的交互证明中，当重复交互很多次之后，Bob得到了大量的信息，但是这好比Alice发给Bob一堆随机数一样，Bob并没有「知道」更多的东西。打个比方，如果Alice告诉Bob「1+1=2」，Bob得到了这个信息，可是Bob并没有额外获取更多的「知识」，因为这个事实人人皆知。

假如Alice告诉Bob2^2^41-1这个数是一个质数，很显然这个是「知识」，因为要算出来这个数是不是一个质数，这需要耗费大量的算力。

假如Alice告诉Bob，总共有两个顶点用了绿颜色，那么Bob就获得了宝贵的「知识」，因为基于他刚刚获取的这个信息，Bob可以用更短的时间用一台图灵机去求解三染色问题。假如Alice又透露给Bob，最左边的顶点颜色是用橙色，那么很显然，这个「信息」对于Bob求解问题并没有实质上的帮助。

我们可以尝试定义一下，如果Bob在交互过程中获得的「信息」，可以帮助提升Bob直接破解Alice秘密的能力，那么我们说Bob「获得了知识」。由此可见，知识这个词的定义与Bob的计算能力相关，如果信息并不能增加Bob的计算能力，那么信息不能被称为「知识」。比如在Alice与Bob交互过程中，Alice每次都掷一个硬币，然后告诉Bob结果，从信息角度看，Bob得到的信息只是一个「事件」，然而Bob并没有得到任何「知识」，因为Bob完全可以自己来掷硬币。

下面引用『FoundationsofCryptography——BasicTools』一书中的总结

「知识」是与「计算难度」相关，而「信息」则不是

「知识」是与公共所知的东西有关，而「信息」主要与部分公开的东西有关

注：曾有人问我，这里的信息与知识的定义是否与Kolmogorov复杂性有关。根据算法信息论，一段字符串的信息量可以用产生字符串的最小程序的长度来测量。这个问题我不是很懂，希望路过的专业人士留言。

可验证计算与电路可满足性问题

看了上面的地图三染色问题，大家是不是没有感觉，好像这只是一个学术问题，如何跟现实问题关联起来？地图三染色问题是一个NP-Complete问题，这是「计算理论」中的一个名词。另外有一个叫做「电路可满足问题」也是同样是NP-Complete问题。NP-Complete是一类问题，他的求解过程是多项式时间内难以完成的，即「求解困难」，但是验证解的过程是多项式时间可以完成的，即「验证简单」。

那什么是电路呢？下面是三个不同的「算术电路」：

可以看到一个电路由很多个门组成，其中有加法门，还有乘法门。每一个门有几个输入引脚，有几个输出引脚。每一个门做一次加法运算，或乘法运算。别看这么简单，我们平时跑的代码，都可以用算术电路来表示。

这意味着什么呢？我们下面结合「零知识证明」与「电路可满足性问题」来试着解决数据的隐私保护问题。

下面请思考一个场景：Bob交给Alice一段代码P，和一个输入x，让Alice来运行一遍，然后把运行结果告诉Bob。可能这个计算需要消耗资源，而Bob把计算过程外包给了Alice。然后Alice运行了一遍，得到了结果y。然后把y告诉Bob。下面问题来了：

如何让Bob在不运行代码的前提下，相信代码P运行的结果一定是y呢？

这里是思考时间，大家可以想个五分钟……

Alice的一种做法是可以把整个计算过程用手机拍下来，这个视频里面包含了计算机CPU，还有内存，在整个运行过程中的每一晶体管的状态。很显然这么做是不现实的。那么有没有更可行的方案呢？

答案是Bob把程序P转换成一个完全等价的算术电路，然后把电路交给Alice。Alice只要计算这个电路就可以了，然后这个过程是可以用手机拍下来的，或者用纸记下来，如果电路规模没有那么大的话。Alice只要把参数6输入到电路，然后记录下电路在运算过程中，所有与门相连的引脚线上的值。并且最后的电路输出引脚的值等于y，那么Bob就能确信Alice确实进行了计算。Alice需要把电路的所有门的输入与输出写到一张纸上，交给Bob，这张纸就是一个计算证明。

这样Bob完全可以在不重复计算电路的情况下来验证这张纸上的证明对不对，验证过程很简单：

Bob依次检查每一个门的输入输出能不能满足一个加法等式或者一个乘法等式。

比如1号门是一个加法门，它的两个输入是3，4，输出是7，那么很容易就知道这个门的计算是正确的。当Bob检查完所有的门之后，就能确信：Alice确确实实进行了计算，没有作弊。

这张纸上的内容就是「满足」算术电路P的一个解「Solution」。

所谓的电路可满足性就是指，存在满足电路的一个解。如果这个解的输出值等于一个确定值，那么这个解就能「表示」电路的计算过程。

对于Alice而言，Bob如果用这种方式验证，她完全没有作弊的空间。但是这种方法很显然有个弊端：

弊端一：如果电路比较大，那么证明就很大，Bob检查证明的工作量也很大。

弊端二：Bob在验证过程中，知道了所有的电路运算细节，包括输入。

黑科技

我们再对刚才的Alice与Bob的场景做些修改。假如，Alice自己还有一个秘密，比如说网银密码。而Bob想知道Alice的网银密码的长度是不是20位长。而Alice想了下，告诉他密码长度应该问题不大。这时候Bob把一个计算字符串长度的代码转换成了电路Q，并且发给Alice。Alice用电路Q算了一下自己的密码，然后把电路所有门的引脚发给了Bob，并带上运算结果20。

Wai……t，这是有问题的，Bob拿到电路运算过程中的所有内部细节之后，不就知道密码了吗？是的，Alice显然不能这么做。那么Alice应该怎么做？

答案是有很多种办法，热爱区块链技术的读者最耳熟的就是zkSNARK，还有zkSTARK，子弹证明BulletProof，以及一些比较小众的技术，都可以帮Alice做到：

Alice以一种零知识的方式，向Bob证明她计算过了电路，并且使用了她的秘密输入。

换句话说，这些「零知识的电路可满足性证明协议」为Alice提供了强大的武器来向Bob证明她的网银密码长度为20，并且除此之外，Bob再也得不到任何其它有用的信息。除了网银密码，Alice理论上可以向Bob证明任何她的隐私数据的某些特性，但是并不暴露任何别的信息。

「零知识的电路可满足性证明协议」提供了一种最直接的保护隐私/敏感数据的技术

最近几年来，零知识证明构造技术发展日新月异，并且在区块链技术领域得到了越来越多的应用。最新的零知识证明技术，有的技术可以让Bob高速验证证明；有的技术可以让所有吃瓜群众帮忙验证；有的技术支持非常小的证明大小。后续文章我们会逐步展开介绍。

写在最后

无论是精妙的数论定理，地图三染色问题，还是电路可满足性问题。证明存在的意义是什么？所有的证明都体现了「证明」与「验证」的「不对称性」。证明可能是一个非常耗费算力，或者脑力的活动，无论是耗时几百年的「费马大定理」，还是比特币中的POW证明，这些证明都凝结了在寻找证明过程中所消耗的能量，证明过程可能是超乎寻常的复杂，偶尔需要天才横空出世。而验证过程一定是一个非常简单的，机械的，在有效时间内且能终止的活动。某种意义上，这个不对称性真正体现了证明的意义，展示了零知识证明的价值。

粗略看，「证明」是「逻辑」的产物，但「逻辑」与「计算」却又有着密不可分的联系，大家可能模模糊糊感觉到一些关于「证明」与「计算」之间的关联，它们贯穿始终：如机械推理、证明表达、交互计算。这是一个有趣但更宏大的哲学问题。

文章内容难免有不准确或不严谨的描述，还请各位专业人士拨冗指正。

参考文献

西蒙,辛格,薛密.费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜.上海译文出版社,1998.

AlecWilkinson.ThePursuitofBeauty:YitangZhangsolvesapure-mathmystery.TheNewYorker.Feb.2015.

马丁,戴维斯,张卜天.逻辑的引擎.湖南科学技术出版社,2012.

RaymondSmullyan.G?del'sIncompletenessTheorems,OxfordUniv.Press.1991.

Turing,Alan."Oncomputablenumbers,withanapplicationtotheEntscheidungsproblem."?ProceedingsoftheLondonmathematicalsociety?2.1(1937):230-265.

Pierce,BenjaminC.,etal."Softwarefoundations."中文译文:https://github.com/Coq-zh/SF-zh

Kolata,Gina."Computermathproofshowsreasoningpower."?MathHorizons?4.3(1997):22-25.

Goldwasser,Shafi,SilvioMicali,andCharlesRackoff."Theknowledgecomplexityofinteractiveproofsystems."?SIAMJournaloncomputing?18.1(1989):186-208.

zkPoD:区块链，零知识证明与形式化验证，实现无中介、零信任的公平交易.安比实验室.2019.

Oded,Goldreich."Foundationsofcryptographybasictools."(2001).

Gennaro,Rosario,etal."QuadraticspanprogramsandsuccinctNIZKswithoutPCPs."AnnualInternationalConferenceontheTheoryandApplicationsofCryptographicTechniques.SpringerBerlin,Heidelberg,2013.

Ben-Sasson,Eli,etal."Scalable,transparent,andpost-quantumsecurecomputationalintegrity."?IACRCryptologyePrintArchive?2018(2018):46.

Bünz,Benedikt,etal."Bulletproofs:Shortproofsforconfidentialtransactionsandmore."2018IEEESymposiumonSecurityandPrivacy(SP).IEEE,2018.

作者：郭宇

本文已更新至Github:https://github.com/sec-bit/learning-zkp/blob/master/zkp-intro/1/zkp-back.md

来源：安比实验室

标签：LICOINCOICOINalice币价格coinone有中文版吗Aencointoncoin币未来怎么样

比特币交易所热门资讯