区块链:密码专栏 | 动手计算双线性对（下）_ElonCryptoGod

前言

上一篇文章中，我们在"F_101"上找到了17个点满足椭圆曲线方程，他们构成一个循环。那么在"F_101"中元素作为坐标的点中还有没有其他的点也满足方程呢？换句话说，上篇文章列出的17个点是不是就是满足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以验证(3,38)也满足椭圆曲线的方程，但是他不是上面17个点中的一个。另一个子群

实际上，我们甚至可以通过将(6,44)作为生成元来得到一个102个元素的循环群，这个循环群涵盖了曲线在"F_101"上的全部点。但是，曲线在"F_101"上的循环周期为17的循环群却只有中篇列出的一个，也就是说在"F_101"上讨论的话，循环周期为17的点已经被我们全部找到了。

在中篇中，我们也提到数域的扩张会直接影响我们需要讨论的点的多少，那么如果我们对"F_101"进行扩张，是否能够得到更多的循环周期为17的点呢？METASTATE的博客中给出这样一个例子，我们将用这个例子说明这个命题的真假。首先我们选择满足j^2mod17=15的j用于对"F_101"的扩张，过程就像我们上一篇文章中进行的那样，扩张后的域记为“F_101的二次扩域”。在这个扩张下，我们可以找到另一个循环周期为17的群，下面的表格列出这个群的全部元素：

Crypto.com DeFi钱包新增支持一系列ERC20代币和BEP20代币:12月16日消息，Crypto.com DeFi钱包新增支持一系列ERC20代币和BEP20代币。具体而言，ERC20代币包括：Anyswap（ANY）、Ariva（ARV）、API3（API3）、SOCIETY OF GALACTIC EXPLORATION（SGE）、Spell Token（SPELL）；

BEP20代币包括：Gala（GALA）、Metahero（HERO）、Lucid Lands（LLG）、MicroPets（PETS）、HalfPizza（PIZA）、Zilliqa（ZIL）、Sin City Metaverse（SIN）。[2021/12/16 7:43:07]

公关和营销机构Taurus推出数字货币产品TaurusCrypto:11月9日消息，专注技术领域的综合公关和营销机构Taurus推出一项新的数字货币产品TaurusCrypto，成为第一家推出以加密为重点的营销推广服务的澳大利亚机构，并以加密货币奖励其团队成员。（Bandt）[2021/11/9 6:41:13]

我们随机选择(66,0+23j)这个元素来验证其满足曲线方程：

左侧：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42

右侧：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42

左侧等于右侧，验证完毕。

在发现通过域扩张后还能找到更多的17阶点后，我们不禁会想：

继续对”F_101的二次扩域”进行扩张，能否找到更多的17阶点呢？

波士顿数据分析公司Flipside Crypto开发工具包 帮助区块链项目追踪网络状况:5月13日消息，波士顿数据分析公司Flipside Crypto和prgroup合作开发了新的区块链工具包，可显示特定区块链的关键经济指标，能帮助加密项目跟踪网络的健康状况和总体参数。（Cointelegraph）[2020/5/13]

或者是：为了找到全部的17阶点，我们需要对F_101进行几次扩张呢？

嵌入度其实就是描述这个问题的一个概念。E是定义在F_101上的椭圆曲线，我们已经有一个包含n=17个点的子群，我们称这个子群的嵌入度是满足17整除q^k-1的最小的k。在这个例子中，k=2。计算嵌入度的价值在于事实证明，当对F_101进行扩张以期其上的椭圆曲线包含全部17阶点时，最小的扩张次数就等于嵌入度。也就是说在”F_101的二次扩域”上，我们已经找到全部的17阶元素。

声音 | 中国科学院院士王小云：密码技术将深入融合5G、区块链、人工智能等数字经济领域:据中国国际贸易促进委员会四川省委员会官网消息，7月29日，第四届中国网络与信息安全大会在成都隆重召开。中国科学院院士王小云在题为《密码技术与数字经济高质量发展》的报告中指出，目前我国及世界已经进入到大数据应用和数字经济高速发展的新时期，但是信息的恶意获取、篡改、伪造和滥用，使得数字经济的安全问题日趋严重。而密码技术作为保障数字经济高质量发展的一个重要技术手段，将深入融合5G、区块链、人工智能、卫星性、物联网、智慧城市等众多数字经济领域，助推智慧社会高速发展。[2019/7/31]

Millier循环

下面给出计算双线性映射的Millier算法，当计算e(P,Q)时，该算法根据P的坐标创建一个二元多项式，然后将P坐标的x和y分量带入求值：

声音 | 降维安全实验室：Coinomi钱包漏洞会使用户密码被“中间人”窃取:降维安全实验室（johnwick.io)发布消息称，Coinomi钱包存在严重漏洞，用户配置Coinomi钱包期间，当用户输入密码时，Coinomi应用程序会抓取用户在密码文本框中的输入，然后将其以明文形式静默发送到Google的拼写检查服务，如果此过程遭受中间人(MitM)攻击，攻击者可以记录密码并窃取钱包内的数字资产。降维安全实验室建议Coinomi钱包的用户密切关注自身的数字资产安全，其他钱包APP也应排查自身是否也存在类似风险，以避免给客户造成更多的损失。[2019/2/28]

METASTATE的博客中作者已经计算了e((1,2),(90,82u))点的结果为97+89j。我们给出另外一个计算的例子，并且稍后通过对比这两个例子的结果说明双线性对的一些属性。

其中f_17是二元的多项式，通过一个称为Millier循环的过程我们可以生成该多项式，这个过程类似于计算指数运算时的mul-and-square操作。但是为了更直观的展示原理，我们选择根据上文定义直接展开计算f_17，这会增加一些计算量。

因此我们需要计算

的表达式。通过查询上一篇文章的列表我们可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：

接下来我们来计算这些直线的方程：

这样我们已经可以计算f_17的结果：

最后我们计算(81+52j)^600

完全解决curve101配对问题

实际上，我们可以计算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值为7+28j。这样我们能够完全掌握GT中全部的元素：

可以看到GT也是一个循环群，他其实是在“F_101的二次扩域”上满足方程x^17=1的17个根。根据该表我们不加以计算就可以知道这个配对的任何一个计算结果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5个元素：93+25j。我们之所以能够完全解决curve101的配对问题，是因为curve101的一系列参数决定其足够简单，而实际零知识证明算法中使用的配对就要复杂很多。例如一些标准中要求其配对曲线的嵌入度至少为12，这意味着GT的元素至少是基础素域的12次扩张！如果其素域特征为常见的256位，那么为了表示一个GT元素就需要256*12/8=384字节的大小。对于任何一个实际使用的曲线，其计算复杂度和规模都使我们当前绝无可能计算出其映射表，这也是离散对数问题困难的所在。

通过系列文章，我们计算了一个简单的配对曲线，加深了对双线性映射的理解。后续，我们继续使用这个配对曲线来讲解和演示零知识证明中Groth16算法的过程和原理，敬请期待。

乔沛杨趣链科技基础平台区块链底层密码学小组

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